Трансформація елементів теоретичного змісту і практикуму при вивченні аркфункцій

Розглянемо елементарну задачу обчислення значення складеної трансцендентної функції з зовнішньою аркфункцією і внутрішньою одноіменною тригонометричною функцією або кофункцією. Які методи існують для одержання результату при перетворенні виразів вигляду arcsin(sinx), arccos(sinx), arctg(tgx), тощо? Методику таких обчислень можна орієнтувати на різні теоретичні основи.Перший підхід ґрунтується на формулюванні і засвоєнні певного правила – орієнтиру, в якому послідовно порівнюються і аналізуються співвідношення між аргументами і значеннями відповідної функції на кожному характерному інтервалі.При цьому елементарні властивості складених функцій вигляду y=arcsin(sinx) використовуються або в абстрактно алгебраїчній формі, або в наочно-графічному вигляді з використанням наступних графіків і подібних до них:  Істотною незручністю такої методики є наявність дещо громіздкого формулювання і відсутність чіткої математичної формули для обчислень.При другому підході, на основі аналізу попереднього правила – орієнтира, одержується еквівалентна система умов і формул вигляду:  (*)Порівняно з першим підходом, наявність формули для обчислень робить другий підхід більш чіткім і алгоритмічним для вивчення і застосування. Проте наявність різних записів виразу результату в залежності від певних умов не завжди зручно якщо потрібно продовжити подальші більш складні обчислення в загальному вигляді.В такому випадку корисним буде третій підхід, який ґрунтується на використанні групи формул іншого типу. Алгоритмічна дія цих формул не передбачає з’ясування додаткових умов. Характерною, принциповою відмінністю їх від попередніх є використання для їх запису функції y=[x]– цілої частини дійсного числа.Основні формули цієї групи в одному з найпростіших варіантів мають наступний вигляд:  (**)Безпосередньо алгоритм виконання обчислень за цими формулами відчутно економніший за кількістю операцій.Корисно порівняти і методи доведення кожного з наведених типів формул.Доведемо формулу (*). Розглянемо два випадки:якщо x[–π/2+2πk; π/2+2πk], то –π/2≤х–2πk≤π/2. Тоді, оскільки функція y=sinx має період 2π, одержимо: arcsin(sinx)=arcsin(sin(x–2πk))=x–2πk.якщо x[π/2+2πk; 3π/2+2πk], то –π/2≤–х+π+2πk≤π/2, і тоді arcsin(sinx)=arcsin(sin(π–x+2πk))=π–x+2πk.Отже, формулу (*) доведено.Доведемо формулу (**).Дана формула має зміст для всіх x≠π/2+πk.Не обмежуючи зональності припустимо, щоx(–π/2+πk; π/2+πk), тоді x/π+1/2(k; k+1), kZ іm=[x/π+1/2]=k, отже, arctg(tgx)=x–kπ дляx(–π/2+πk; π/2+πk), щоі треба було довести.Основні формули для обчислень вигляду arcsin(sinx), arccos(cosx), arctg(tgx), arcctg(ctgx) дозволяють одержати також і вирази для перетворень типів arcsin(cosx), arccos(sinx), arctg(ctgx) і arcctg(tgx). Слід відзначити, що одержати відповідні співвідношення можна або з властивостей аркфункцій, або як наслідок властивостей тригонометричних функцій.Використовуючи властивості аркфункцій, одержимо, наприклад: Використовуючи формули зведення, еквівалентний результат одержується в такий спосіб: