Побудова і модифікація аналітичних структур підпорядкування теоретичного змісту фундаментальних дисциплін в процесі викладання

На загальному фоні сукупного теоретичного змісту кожної фундаментальної дисципліни, що планується до викладання, достатньо чітко простежується наявність певних скінчених моделей, з усіма формальними ознаками скінчених множин. Дійсно, кожне поняття (крім первинних) виступає логічно-наступним по відношенню до деякого поняття, або групи понять. І кожне положення (крім аксіом) завжди супроводжується логічним підпорядкуванням з іншими положеннями, або їх групою.Проблеми деталізації і узгодження навчального планування, пошук оптимальних версій викладання стає відчутно більш алгоритмічним і зручним при реальному унаочненні таких моделей, окремому спеціальному дослідженні їх властивостей і будови.Зупинимось, насамперед, на їх визначенні. Основою формального означення є дві скінчені множини M і W відповідно всіх понять і положень, які охоплені процесом викладання теоретичного матеріалу. Ці множини не мають спільних елементів M∩W=Ø , а їх об’єднання утворює повну множину елементів теоретичного змісту T=MUW даної версії викладання.Далі, в кожній з множин M і W будується певне відношення часткового впорядкування відповідне де формально-логічної послідовності відповідних елементів tT. Тоді, разом з введеними таким чином відношеннями, множини M і W стають частково-впорядкованими множинами S(M) і S(W). Як легко бачити, об’єкти M і W є простими переліками понять і положень відповідно, а побудовані на їх структурними характеристиками. Сукупною аналітичною структурою S(T) підпорядкування теоретичного змісту в процесі викладання природно вважати пару об’єктів S(T)= (S(M) і S(W)). Безумовно, слід зауважити, що вибір множин M і W та їх структур S(M) і S(W) в різних випадках, за різних обставин та специфіки не є одночасним. Але якщо система M, W, S(M), S(W) визначена, та її основі запальна, то на її основі загальна характеристика навчального курсу стає більш інформативною і читкою за навчальними програмами, розробленими у традиційній формі.Проілюструємо запропонований підхід на наступних прикладах, безпосередньо побудувавши для кожного з них множини S(M) і S(W) у вигляді частково-впорядкованих множин за матеріалами окремих параграфів шкільних підручників.Параграфи §§1-4 розділу ХІІ “Елементи комбінаторики” [1] проектуються в такі множини.Множина понять М містить 17 елементів ( 1) множина, 2) скінчена множина, 3) нескінчена множина, 4) порожня множина, 5) підмножина … , 15) комбінація, 16) трикутник Паскаля, 17) формула загального члена бінома Ньютона).Частково-впорядкована множина S(M) має вигляд Множина положень W складається з 20 елементів ( 1) властивість ØА , 2) властивість АА, 3) формула Рn=h!, 4) перестановка є частинним випадком розміщення, 5) формула А для Аnm …, 16) формула бінома Ньютона 17) – 20) відповідні властивості пов’язані з біномом Ньютона).Структура викладу положень S(W) має вигляд Подібним чином, пп. 16-21 параграфу §4 розділу ІІ “Похідна та її застосування” [2] приводять до наступних елементів теоретичного змісту та їх структур.Множина понять М містить 10 елементів ( 1) зростаюча функція, 2) спадна функція, 3) приріст незалежної змінної, 4) приріст функції … , 9) похідна функції, 10) складена функція).Формально логічно підпорядкування в множині М має вигляд S(M): Множина положень W містить 19 елементів ( 1) ознака зростання (на мові приростів), 2) ознака спадання, 3) формула (x2)=2x, 4) формула (1/x)=1/x2, 5) (x)=1 … , 17) (xn)=nxn-1, 18) (g(kx+b))=kg(kx+b), 19) формула для (g(f(x))).Виклад положень здійснено на основі структури S(W) Як відзначалось вище, система M,W, S(M), S(W) не може бути однозначною, раз і назавжди визначеною з природних причин постійного удосконалення і осучаснення навчального матеріалу, його рівневої і профільної диференціації. Проте переваги формування навчальних програм на рівні визначення S(T) в порівнянні з її формуванням як звичайної послідовності окремих речень відповідного тексту, безперечні, оскільки при наявності S(T)=(S(M), S(W)) такі програми стають значно інформативнішими[3].Не викликає сумніву, що однією з вимог до сучасного підручника належного рівня має бути наявність в його додатках явного вигляду S(T) у вигляді двох окремих “атласів” S(M), S(W), в яких чітко зазначається формально-логічне підпорядкування всіх елементів теоретичного змісту tT=MUW. Кожний такий елемент на них бажано супроводжувати номером сторінки тексту, де цей елемент вперше виникає при даній, обраній автором версії викладання.