Об одномподходек решению нелинейной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма

A nonlinear boundary value problem for a Fredholm integro-differential equation is considered. The interval where the problem is considered is partitioned and the values of a solution to the problem at the left endpoint of the subintervals are introduced as additional parameters. The introduction of additional parameters gives initial values at the left endpoints of subintervals for new unknown functions. The considered integro-differential equation is reduced to a special Cauchy problem with parameters for a system of integro-differential equations. If this problem is solvable, then its solution can be represented using the introduced parameters and known values of the integro-differential equation. By substituting these representations into the boundary condition and the continuity conditions of the solution at the interior partition points, a system of nonlinear algebraic equations in the introduced parameters is constructed. The solvability of the boundary value problem is reduced to that of the system of algebraic equations. The conditions for the existence of a solution to the auxiliary system of algebraic equations are established. Рассматривается нелинейная краевая задача для интегро-дифференциа-льного уравнения Фредгольма. Интервал где рассматривается задача делится на части и зна-чения решения в начальныхточках подинтервалов вводятся в качестве дополнительных па-раметров.Введение дополнительных параметров дает начальные условия в левых точках по-динтервалов для новых неизвестных функций. Рассматриваемое интегро-дифференциальное уравнение сводится к специальной задаче Коши с параметрами для системы интегро-дифференциальных уравнений. Если эта задача разрешима, то ее решение можно предста-вить с помощью введенных параметров и известных величин интегро-дифференциального уравнения. Подставляя представление решения в краевое условие при соответствующих зна-чениях и условия непрерывности решения во внутренних точках разбиения, составляется си-стема нелинейных алгебраических уравнений относительно введенных параметров. Разрешимость нелинейной краевой задачи сводится к разрешимости системы алгебраических уравнений. Установлены условия существования решения вспомогательной системы нели-нейных алгебраических уравнений.