Nondegenerate Canonical Solutions of a Certain System of Functional Equations

Установление возможности вложения неаддитивной двуметрической феноменологически симметричной геометрии ранга $(2,2)$ с функцией $g(x, y, \xi, \eta) =(g^{1}, g^{2}) $ в двуметрическую феноменологически симметричную геометрию ранга $(3,2)$ с~функцией $f(x, y, \xi, \eta, \mu, \nu) =(f^{1}, f^{2}) $ приводит к задаче нахождения у соответствующей системы $ f(\bar{x}, \bar{y}, \bar{\xi}, \bar{\eta}, \bar{\mu}, \bar{\nu}) = \chi(g(x, y, \xi, \eta), \mu, \nu) $ двух функциональных уравнений невырожденных решений. Данная система решается, поскольку функции $g$ и $f$ ранее известны. Тогда эта система принимает явный вид: $\bar{x}\bar{\xi}+\bar{y}\bar{\mu}=\chi ^{1}((x+\xi)y,(x+\xi)\eta,\mu,\nu ),$ $\bar{x}\bar{\eta}+\bar{y}\bar{\nu}=\chi ^{2}((x+\xi )y,(x+\xi )\eta ,\mu ,\nu).$ Общее решение такой системы найти трудно, однако можно сначала найти каноническое решение, связанное с жордановой формой матриц второго порядка, поскольку их количество мало, а затем по нему определить общее решение с помощью подходящего невырожденного преобразования матриц и векторов. Такая переформулировка основной проблемы делает ее более простой и интересной в математическом смысле.В процессе поиска канонических решений исходной системы функциональных уравнений сначала дифференцируем по переменным $x$ и $\xi$, в результате получаем систему дифференциальных уравнений с матрицей коэффициентов $A$ общего вида: $\left(\!\begin{array}{c} {\bar{x}_{x}} \\ {\bar{y}_{x}} \end{array}\!\right)=A\left(\!\begin{array}{c} {\bar{x}} \\ {\bar{y}} \end{array}\!\right)$. Доказывается, что матрицу $A$ можно привести к жорданову виду. Затем решается система дифференциальных уравнений с такой жордановой матрицей. Далее, с решениями системы дифференциальных уравнений возвращается в исходную систему функциональных уравнений, откуда находятся дополнительные ограничения. В~итоге получаются невырожденные канонические решения исходной системы функциональных уравнений. По этим каноническим решениям затем записывается общие решения исходной системы.