On Multiplicative Multi-Dimensional Partial Differential Equations

Рассмотрен класс мультипликативных дифференциальныхуравнений в частных производных. Левая часть уравнения представленав виде произведения линейных дифференциальных выраженийпроизвольного порядка, а правая часть является функцией независимыхпеременных и~искомой функции. Для уравнения с одномерными линейнымидифференциальными операторами и факторизуемой правой частью полученырешения с аддитивным, мультипликативным и комбинированнымразделением переменных. При этом исходное уравнение редуцированолибо к обыкновенному дифференциальному уравнению, либо к уравнениюв частных производных меньшей размерности. Показано, что еслиоператоры в левой части уравнения являются однородными, тоуравнение имеет решения в виде обобщенных полиномов. Также дляуравнения с однородными операторами найдены автомодельные решенияи сформулированы достаточные условия их существования. Полученырешения типа бегущей волны для случая операторов с постояннымикоэффициентами и правой части, зависящей от линейной комбинациинезависимых переменных. Показано, что если правая часть уравнениязависит от нескольких линейных комбинаций на подмножествахнезависимых переменных, то имеются решения типа многомерных бегущихволн, зависящие от этих линейных комбинаций. Получено решение ввиде разложения по собственным функциям ядер линейных операторов,входящих в состав левой части уравнения. Также исследованынекоторые уравнения с~многомерными линейными операторами. Вчастности, получены решения с~разделением переменных для случаяфакторизуемых многомерных операторов, а также решения типамногомерных бегущих волн и решения в виде функций от аргументовболее сложной структуры. Рассмотрены случаи, когда правая частьуравнения содержит степенные и экспоненциальные нелинейностипо~искомой функции.