Erasing of Singularities of Functions with Zero Integrals over Disks

Стирание особенностей функций с нулевыми интегралами по кругамПусть $\mathcal{M}$ и $\mathcal{N}$ - многообразия, ${\mathcal{D}}$ - область в$\mathcal{M}$ и $E \subset \mathcal{D}$ - замкнутое относительно $\mathcal{D}$ множество. Проблемастирания особенностей состоит в следующем: найти условия, при которых любое отображение $f:\mathcal{D}\setminus E \rightarrow \mathcal{N}$ из заданного класса можно продолжить доотображения $\mathbf{f }:\mathcal{D} \rightarrow \mathcal{N}$ с сохранением класса. Если указанноепродолжение существует, то множество $E$ называют устранимым множеством в рассматриваемом классеотображений. Целью данной работы является исследование проблемы стирания особенностей в контексте свойств ядралокального преобразования Помпейю. Изучается класс $\mathfrak{K}_{+}$, состоящий из непрерывных функций на комплексной плоскости $ \mathbb{C}$, имеющих нулевые интегралы по всем кругам из $\mathbb{C}$, конгруэнтным единичному кругу относительносферической метрики. Аналогом группы евклидовых движений в этом случае является группадробно-линейных преобразований $\mathrm{PSU}(2)$. Найдено точное условие, при котором функциирассматриваемого класса, доопределенные соответствующим образом в бесконечно удаленной точке,обладают указанным свойством на расширенной комплексной плоскости $ \overline{\mathbb{C}}$.Доказательство основного результата базируется на подходящем описании класса $\mathfrak{K}_{+}$.Центральным инструментом в этом описании являются ряды Фурье по сферическим гармоникам. Показано,что коэффициенты Фурье функции $f\in\mathfrak{K}_{+}$ представимы рядами по функциям Якоби.Дальнейшее доказательство состоит в изучении асимптотического поведения указанных рядов при подходек особой точке. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных со сферическимисредними.