Algebras of Analytic Functionals and the Generalized Duhamel Product

Пусть $\Omega$ - односвязная область в комплексной плоскости, содержащая начало;$H(\Omega)$ - пространство Фреше всех голоморфных в $\Omega$функций. Голоморфная в $\Omega$ функция $g_0$ такая, что$g_0(0)=1$, задает линейный непрерывный в $H(\Omega)$ оператор Поммье. Онявляется одномерным возмущением оператора обратного сдвига исовпадает с ним, если $g_0$ является тождественной единицей.Его коммутант в кольце всех линейных непрерывных операторов в$H(\Omega)$ изоморфен алгебре, образованной сопряженным $H(\Omega)'$ к $H(\Omega)$с умножением, определяемым операторами сдвига для оператора Поммье по правилу свертки.Показано, что эта алгебра является унитальной ассоциативной, коммутативной и топологической.Исследуются ее реализации, полученные с помощьюпреобразований Лапласа и Коши. Основное внимание уделенореализации посредством преобразования Лапласа. Оно приводит к изоморфной алгебре,образованной некоторым пространством $P_\Omega$ целых функций экспоненциального типа.Умножение $\ast$ в ней является обобщенным произведения Дюамеля. Если $g_0$ является тождественной единицей,то это умножение является обычным произведением Дюамеля.Обобщенное произведение Дюамеля задается операторами свертки,определяемыми посредством исходной функции $g_0$. В случаепреобразования Коши (для функции $g_0$, равной тождественнойединице) реализацией $H(\Omega)'$ является пространство ростковвсех функций, голоморных на дополнении $\Omega$ до расширеннойкомплексной плоскости и равных нулю в бесконечности, с умножением,противоположным обычному произведению функций и независимойпеременной. Получено описание всех собственных замкнутых идеалов$(P_\Omega,\ast)$. Оно основывается на данном ранее авторамиописании всех собственных замкнутых $D_{0,g_0}$-инвариантныхподпространств $H(\Omega)$. Множество всех собственных замкнутыхидеалов $(P_\Omega,\ast)$ состоит из двух семейств. Одно содержитконечномерные идеалы, задаваемые подмножествами нулевогомногообразия функции $g_0$. Другое содержит бесконечномерныеидеалы, определяемые, в частности, конечным числом точек вне$\Omega$. Ранее аналогичная задача была решена авторами вдвойственной ситуации, именно, для алгебры ростков всех функций,голоморфных на выпуклом локально замкнутом множестве в комплекснойплоскости. При этом рассматривалась функция $g_0$, являющаясяпроизведением многочлена и экспоненты.