About Subgroups Rich in Transvections

Говорят, что подгруппа $H$ полной линейной группы $G=GL(n, R)$порядка $n$ над кольцом $R$ богата трансвекциями, если она содержитэлементарные трансвекции $t_{ij}(\alpha) = e + \alpha e_{ij}$ навсех позициях $(i, j)$, $i\neq j$ (для некоторых$\alpha\in R$, $\alpha\neq 0$). Настоящая работа посвящена вопросам,связанным с подгруппами, богатыми трансвекциями.Известно, что если подгруппа $H$ содержит матрицу-перестановку,соответствующую циклу длины $n$и элементарную трансвекцию позиции $(i, j)$ такую, что$(i-j)$ и $n$ взаимно просты, то подгруппа $H$ богататрансвекциями. В настоящей заметке доказывается, что условиевзаимной простоты $(i-j)$ и $n$ является существенным. Мыпоказываем, что для $n=2k$, цикла $\pi=(1\ 2\ \ldots n)$ иэлементарной трансвекции $t_{31}(\alpha)$, $\alpha\neq 0$ группа$\langle (\pi), t_{31}(\alpha) \rangle$, порожденная элементарнойтрансвекцией $t_{31}(\alpha)$ и матрицей-перестановкой (циклом)$(\pi)$ не является подгруппой, богатой трансвекциями.