Approximation Properties of Discrete Fourier Sums in Polynomials Orthogonal on Non-Uniform Grids

В данной работе для произвольной непрерывной на отрезке $[-1, 1]$ функции $f(x)$ в~случае целых положительных $\alpha$ и $\beta$ построены дискретные суммы Фурье $S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)$ по системе многочленов $\{\hat{p}_{k,N}^{\alpha,\beta}(x)\}_{k=0}^{N-1},$ образующих ортонормированную систему на неравномерных сетках $\Omega_N=\{x_j\}_{j=0}^{N-1},$ состоящих из конечного числа $N$ точек отрезка $[-1, 1]$ с весом типа Якоби. Исследуются аппроксимативные свойства построенных частных сумм $S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)$ порядка $n\leq{N-1}$ в~пространстве непрерывных функциий $C[-1, 1].$ А именно, получена двусторонняя поточечная оценка для функции Лебега $L_{n,N}^{\alpha,\beta}(x)$ рассматриваемых дискретных сумм Фурье при $n=O\big(\delta_N^{-1/(\lambda+3)}\big)$, $\lambda=\max\{\alpha, \beta\}$, $\delta_N=\max_{0\leq{j}\leq{N-1}}\Delta{t_j}$. Соответственно, исследован также вопрос сходимости $S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)$ к $f(x)$. В частности, получена оценка отклонения частичной суммы $S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)$ от $f(x)$ при $n=O\big(\delta_N^{-1/(\lambda+3)}\big),$ которая также зависит от~$n$ и положения точки $x\in[-1, 1].$