On the Structure of Elementary Nets Over Quadratic Fields

Исследуется структура элементарных сетей над квадратичными полями. Система $\sigma = (\sigma_{ij})$, $1\leq{i, j} \leq{n}$, аддитивных подгрупп кольца $R$ называется сетью (ковром) надкольцом $R$ порядка $n$, если $ \sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}} $ при всех значениях индексов $i$, $r$, $j$. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называетсяэлементарной сетью (элементарный ковер). Элементарная сеть $\sigma = (\sigma_{ij})$ называется неприводимой, если все аддитивные подгруппы $\sigma_{ij}$ отличны отнуля. Пусть $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d}\,)$ - квадратичное поле, $D$ - кольцо целых квадратичного поля $K$, $\sigma = (\sigma_{ij})$ -неприводимая элементарная сеть порядка $n\geq 3$ над $K$, причем$\sigma_{ij}$ - $D$-модули. Если целое $d$ принимает одно из следующих значений (22 поля): $-1$, $-2$, $-3$, $-7$, $-11$, $-19$, $2$, $3$, $5$, $6$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $21$, $29$, $33$, $37$, $41$, $57$, $73$, то для некоторого промежуточного подкольца $P$, $D\subseteq P\subseteq K$, сеть $\sigma$ сопряжена диагональной матрицей из $D(n, K)$ с элементарной сетью идеалов кольца $P$.