On Multidimensional Determinant Differential-Operator Equations

Рассмотрен класс многомерных детерминантных дифференциально-операторныхnуравнений, левая часть которых представляет собой определитель с элементами, содержащимипроизведение линейных одномерных дифференциальных операторов произвольного порядка, а правая часть зависит от искомой функции и ее первых производных. Отдельно исследованыоднородные и~неоднородные детерминантные дифференциально-операторные уравнения. Доказаны теоремы о понижении размерности уравнения. Получены решения в виде суммы и произведенияфункций от подмножеств независимых переменных, и в том числе, функций одной переменной. В частности, доказано, что решением рассматриваемого однородного уравнения являетсяпроизведение собственных функций линейных операторов, входящих в состав уравнения. Для однородного уравнения доказана теорема о~взаимосвязи решений исходного уравнения инекоторого вспомогательного линейного уравнения, а также получено решение уравнения для случая, когда линейные дифференциальные операторы, входящие в его состав, имеютпропорциональные собственные значения. Получены решения типа бегущей волны, в том числе решения степенного и экспоненциального вида, а также в~виде произвольной функции отлинейной комбинации независимых переменных. В случае, когда линейные операторы, входящие в состав уравнения, являются однородными, найдены решения в виде обобщенных мономов. Длянеоднородного уравнения получены частные решения в случаях, когда правая часть содержит только независимые переменные, и когда правая часть содержит степенную илиэкспоненциальную нелинейность от искомой функции, и степени первых производных от этой функции.