Estimates of Indicators of an Entire Function with Negative Roots

Статья является продолжением серии работ авторов, посвященной изучению связи между закономерностямироста целой функции и характером распределения ее корней. Исследуется асимптотическое поведение целой функции конечного нецелого порядкас последовательностью отрицательных корней, имеющей предписанные нижнюю и верхнюю плотности.Особое внимание уделено случаю нулевой нижней плотности корней. Даны точные оценки для индикатора и нижнего индикатора такой функции. Описаны углы на комплексной плоскости, в которых эти характеристики тождественно равны нулю.В некоторых специальных ситуациях указаны явные формулы для вычисления индикаторов. Используемые термины - обычные плотности последовательности корней -- просты и наглядны в отличие от многих типичных для теории роста целых функций сложных интегральных конструкций, содержащих считающую функцию корней. Результаты применяются к известной задаче о наименьшем типе целой функции порядка $\rho\in(0,+\infty)\setminus\mathbb{N}$ с корнями на луче.Эта задача достаточно полно изучена лишь в случае $\rho\in(0,1)$.При $\rho>1$ не известен точный закон, выражающий наименьший возможный тип такой целой функции через плотности ее корней.Для~упомянутой экстремальной величины найдена новая двусторонняя оценка, действующая на всем множестве нецелых положительных значений параметра $\rho$ и усиливающая известные ранее оценки А. Ю. Попова (2009 г.).Сформулирована гипотеза относительно поведения экстремального типа вблизи целых значений $\rho$.Изложение дополнено кратким обзором классических результатовЖ. Валирона, Б. Я. Левина, А. А. Гольдберга и недавних продвижений из работ А. Ю. Попова и авторов,напрямую связанных с заданным направлением исследования.Очерчен круг перспективных задач по затронутой тематике.