Some Properties of Orthogonally Additive Homogeneous Polynomials on Banach Lattices

Пусть $E$ и $F$ - банаховы решетки, а $\mathcal{P}_o({}^s\!E,F)$ и$\mathcal{P}_o^r({}^s\!E,F)$ обозначают соответственно пространства непрерывных ирегулярных ортогонально аддитивных $s$-однородных полиномов, действующих между банаховымирешетками $E$ и $F$. Основные результаты статьи таковы.\\\teorema{ 3.4}Пусть $s\in\mathbb{N}$ and $(E,\|\cdot\|)$ - порядково $\sigma$-полная$s$-выпуклая банахова решетка. Равносильны следующие утверждения:$(1)$ $\mathcal{P}_o({}^s\!E,F)\equiv\mathcal{P}_o^r({}^s\!E,F)$ для любого $AM$-пространства $F$;$(2)$ $\mathcal{P}_o({}^s\!E,c_0)=\mathcal{P}^r_o({}^s\!E,F)$ для любого $AM$-пространства $F$;$(3)$ $\mathcal{P}_o({}^s\!E,c_0)=\mathcal{P}^r_o({}^s\!E,c_0)$;$(4)$ $\mathcal{P}_o({}^s\!E,c_0)\equiv\mathcal{P}_o^r({}^s\!E,c_0)$;$(5)$ $E$ дискретна и порядково непрерывна.\Endproc\\\teorema{ 4.3}Пусть $E$ и $F$ - банаховы решетки, причем $E$ $s$-выпукла для некоторого натурального $s\in\mathbb{N}$. Тогда равносильны следующие утверждения: $(1)$ $\mathcal{P}_o^r({}^s\!E,F)$ - векторная решетка и регулярная норма. $\|\cdot\|_r$ on $\mathcal{P}_o^r({}^s\!E,F)$ на ней порядково непрерывна. $(2)$ Каждый положительный $s$-однородный ортогонально аддитивный полином из $E$ в $F$ является $L$- и $M$-слабо компактным. \Endproc\\\teorema{ 4.6}Пусть $E$ и $F$ - банаховы решетки, причем $F$ обладает положительным свойством Шура, а $E$ $s$-выпукла для некоторого $s\in\mathbb{N}$. Тогда равносильны утверждения: $(1)$ $(\mathcal{P}_o^r({}^s\!E,F),\|\cdot\|_r)$ является $K\!B$-пространством. $(2)$ Регулярная норма $\|\cdot\|_r$ пространства $\mathcal{P}_o^r({}^s\!E,F)$ порядково непрерывна.$(3)$ $E$ не содержит подрешеток, изоморфных $l^s$.\Endproc