A unitarity criterion for the partial $S$-matrix of resonance scattering

Рассматривается влияние $N$ долгоживущих состояний, характеризующихся резонансными энергиями $E_i$ и ширинами $\Gamma_i(E)$, на процесс упругого рассеяния. Получено выражение для парциальной $S$-матрицы $S_l(E) $ в виде суммы по резонансным уровням (полюсам), вычеты в которых имеют вид $\Gamma_i\prod_{ \substack{k=1,k\neq i}}^N\gamma_{ik}$, где $\gamma_{ik}={(z_i-z_k^*)}/{(z_i-z_k )} $, а $z_i=E_i-{\imath\Gamma_i }/{2} $. Показано, что необходимое условие унитарности парциальной $S$-матрицы при наличии $N$ резонансных уровней записывается как $\sum_{i=1}^N\Gamma_i(E)\prod_{\substack{k=1,k\neq i}}^N\gamma_{ik}=\sum_{i=1}^N\Gamma_i(E)$.