A Theorem of Sylvester-Gallai Type for Abelian Groups

Конечное подмножество $X$ абелевой группы $A$ по сложениюназывается множеством Сильвестра-Галлаи типа $m$,если $|X|\geqslant m$ и для любых различных$x_1,…,x_{m-1} \in X$ найдется элемент$x_m \in X \setminus \{x_1,…,x_{m-1}\}$ такой,что$$x_1+…+x_m=o_A,$$где через $o_A$ обозначен нуль группы $A$.Мы опишем все множества Сильвестра-Галлаи типа $m$.В качестве следствия получим следующий результат:если $Y$ - конечное множество точек, лежащих на эллиптической кривойв $\mathbb P^2(\mathbb C)$, и(A) для любых двух различных точек $x_1,x_2 \in Y$ найдется точка$x_3 \in Y \setminus \{x_1,x_2\}$, коллинеарная $x_1$ и $x_2$,то либо $Y$ - это конфигурация Гессе эллиптической кривой,либо $Y$ состоит из трех точек, лежащих на одной прямой;(Б) для любых пяти различных точек $x_1,…,x_5 \in Y$ найдетсяточка $x_6 \in Y \setminus \{x_1,…,x_{5}\}$ такая,что $x_1,…,x_6$ лежат на одной конике, то $Y$ состоитиз шести точек, лежащих на одной конике.Библиография: 13 названий.