Точные константы в двусторонней оценке С. А. Теляковского суммы ряда по синусам с выпуклой последовательностью коэффициентов

Известно, что сумма ряда по синусам$g(\mathbf b,x)=\sum_{k=1}^\infty b_k\sin kx$, коэффициентыкоторого образуют выпуклую последовательность $\mathbf b$,положительна на интервале $(0,\pi)$. Для оценки ее значенийв окрестности нуля C. А. Теляковский использовалкусочно-непрерывную функцию$$\sigma(\mathbf b,x)=\frac1{m(x)}\sum_{k=1}^{m(x)-1}k^2(b_k-b_{k+1}),\qquadm(x)=[\frac\pi x].$$Он показал, чторазность $g(\mathbf b,x)-(b_{m(x)}/2)\operatorname{ctg}(x/2)$ в некоторой окрестности нулядопускаетдвустороннюю оценку через функцию $\sigma(\mathbf b,x)$с абсолютными постоянными. В работе найдены точные значенияэтих постоянных на классе выпуклых последовательностей $\mathbf b$.Библиография: 8 названий.