MATHEMATICAL ASPECTS OF IMPLEMENTING THE ANALYTIC HIERARCHY PROCESS

Обсуждаются актуальные проблемы формирования метатеоретических основ моделирования при реализации методов анализа иерархий (МАИ), а именно - вопросы математического обоснования шкалы суждений на основе взаимосвязанных наблюдений, парных сравнений факторов, критериев и альтернатив, расчета приоритетов и их синтеза в итоговые оценки. Показано, что базовые положения (аксиомы) МАИ непосредственно связаны со свойствами частных производных, характеризующих предельную норму замещения факторов, и с дифференциальным уравнением Эйлера для однородных функций многих переменных. На метатеоретическом уровне эти связи обусловлены процедурами расслоения пространств и множеств на элементах базы расслоения разного содержания. Методология МАИ основана на расслоениях числовых множеств, касательных расслоениях на многообразиях и расслоениях знаний на системные теории, что обеспечивает универсальность ее применения. Математический анализ процедур МАИ выделяет требование линейности пространства исследования и необходимость линеаризовать показатели в самом начале обработки данных с дальнейшим переходом от исходных абсолютных показателей к относительным для формирования локальной системы координат касательного слоя (кластера) – пространства локального, линейного, метрического и ограниченного. Уравнение Эйлера связывает значения координат локального пространства касательного слоя в форме метрических зависимостей – функций оценивания линейного и нелинейного вида, известных в МАИ. Для определения шкалы превосходства на разных уровнях формализации применяются натуральные и целые числа, рациональные числа, действительные и гипердействительные числа стандартного и нестандартного анализа. Показано, при каких ограничениях в процедурах МАИ, имея матрицу парного оценивания и не зная вид функции ранжирования, появляется возможность вычислять приоритеты и выбирать нужный вариант решения. Расчетные приоритеты – это относительные чувствительности изменения оценочных функций, а их соотношения – нормы замещения учитываемых факторов. Выводятся уравнения синтеза оценок глобального приоритета на основе показателей локальных приоритетов по всем критериям. Итоговая функция оценивания может быть представлена в виде произведения векторов и матриц сравнения разных иерархических уровней (полилинейной формы).