The plane problem solution of impact deformation in a preliminary unstressed incompressible elastic medium

Решается задача одномерной плоской деформации нелинейноупругого несжимаемого полупространства под действием ударной нагрузки на его границе. До момента ударного воздействия полупространство находится в свободном состоянии. Именно это условие позволяет осуществить движение разрыва в краевых условиях на границе полупространства в виде единственной плоскополяризованной ударной волны, на которой сохраняется неизменным направление предварительного сдвига. Перечисленные свойства переднего фронта ударного воздействия следуют из совместного анализа характеристических направлений задачи и видов ударных волн для одномерной плоской задачи в несжимаемой среде с произвольными предварительными деформациями. Приводятся два варианта приближенного решения задачи на основе метода сращиваемых асимптотических разложений и на основе метода лучевых рядов. The problem of one-dimensional plane deformation of a nonlinear elastic incompressible half-space under the impact load action on its boundary is solved. The half-space is in a free state until the moment of impact action. This condition leads to the discontinuity in the boundary conditions at the half-space boundary moves as the only plane-polarized shock wave, on which the direction of the preliminary shear remains unchanged. The pointed out properties of the leading edge of the shock action follow from the joint analysis of the characteristic directions of the problem and the shock waves types for a one-dimensional plane problem in an incompressible medium with arbitrary preliminary deformations. Two versions of the problem approximate solution based on the method of matched asymptotic expansions and on the basis of the ray series method are presented.