Числовi характеристики випадкової величини, пов'язаної iз зображенням дiйсних чисел рядами Енгеля

УДК 511.72+511.75+519.21Відомо, що будь-яке число x ∈ ( 0 ; 1 ] ≡ Ω єдиним чином розкладається в ряд Енгеля x = ∑ n = 1 ∞ 1 ( p 1 ( x ) + 1 ) … ( p n ( x ) + 1 ) , де p n ( x ) ∈ ℕ , p n + 1 ( x ) ≥ p n ( x ) ∀ n ∈ ℕ . Цей розклад коректно визначає p n ( x ) як вимірну функцію (випадкову величину) на ймовірнісному просторі ( Ω , ℱ , λ ) , де ℱ — σ -алгебра вимірних за Лебегом підмножин множини Ω , λ — міра Лебега. На множині Ω * ⊂ Ω збіжності функціонального ряду  ∑ n = 1 ∞ 1 p n ( x ) + 1 визначається функція ψ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 p n ( x ) + 1 , яка є основним об'єктом дослідження в даній роботі. Доведено, що функція ψ визначена (набуває скінченних значень) майже скрізь на ( 0 ; 1 ] та є випадковою величиною на ймовірнісному просторі ( Ω * , F * , λ ) , де F * — σ -алгебра вимірних за Лебегом підмножин множини Ω * , обчислено її математичне сподівання та дисперсію. Розглянуто випадкові величини ψ k як узагальнення функції ψ та обчислено їхні математичні сподівання M ψ k .