Os numeros mágicos de Ball e a sequência de Fibonacci

Seja $x_n$ um número com $ n $ algarismos. Para $ n \geq 2 $, o número de $ n $ algarismos obtido pela inversão da posição dos algarismos de $ x_n $ é chamado de número reverso de $ x_n $ e é indicado por $ x_n'$. Admita que $ x_n > x_n '$ e escreva o número mágico de Ball $ B = (x_n - x_n') + (x_n - x_n ')' $. Em Webster\cite{webs}, e de forma independente em Costa e Mesquita \cite{costa2}, mostra-se que todo número de Ball $B$ é múltiplo de 99. Para cada $k\geq 0$ inteiro, considere $ x_{2k} $ (ou $ x_ {2k + 1} $) um número qualquer e $ B (k) $ a quantidade de possíveis números mágicos de Ball, ou seja, correspondentes às quantidades de algarismos $ 2, 4, 6, \ldots, 2k, \ldots $ (ou $ 3, 5, 7, \ldots, 2k + 1, \ldots $) temos a associado a sequência $ 1, 4, 12, \ldots, B (k), \ldots $ que representa a quantidade de números da Ball. Webster considera o caso particular em que o primeiro algarismo do número $ x_{n} $ é sempre maior que o último algarismo e obtém que $B(k)$ é um termo da sequência de Fibonacci. Enquanto que em Costa e Mesquita mostra-se que para todo inteiro $k \ge 2$ a quantidade $B(k)$ está entre $B(k-1)$ e $3^{k-1} + B(k-1)$. Aqui vamos melhorar o resultado de Webster e mostrar que a quantidade $ B(k) $ é a soma de dois termos da sequencia de Fibonacci.