Open AccessRepresentation of the density functions of a multidimensional strictly stable distributions by series of generalized functions
Author(s) -
Сергей Викторович Архипов
Publication year - 2021
Publication title -
vestnik tverskogo gosudarstvennogo universiteta. seriâ prikladnaâ matematika
Language(s) - English
Resource type - Journals
ISSN - 1995-0136
DOI - 10.26456/vtpmk606
Subject(s) - mathematics , series (stratigraphy) , generalized function , cauchy distribution , gauss , representation (politics) , fourier transform , mathematical analysis , fourier series , space (punctuation) , measure (data warehouse) , corollary , pure mathematics , inverse , law , paleontology , linguistics , philosophy , physics , quantum mechanics , database , politics , political science , computer science , biology , geometry
В статье рассматриваются многомерные строго устойчивые распределения. Как известно, функции плотности этих законов не представляются в явном виде за исключением известных законов Гаусса и Коши. Отправным пунктом для исследований являются характеристические функции. Имеется несколько различных форм их представления. В статье выбирается форма, предложенная в [1]. Применение обратного преобразования Фурье совместно с суммированием интегралов по Абелю позволило получить разложения функций плотности многомерных устойчивых распределений (см.[1], [12]). Основным результатом статьи являются представления этих функций с помощью рядов обобщенных функций над пространством Лизоркина. Они позволяют определить порядок убывания главного члена разложения на бесконечности для любого радиального направления. Кроме того, выведенные формулы дают возможность увидеть структуру формирования слагаемых в разложениях. В следствии приводятся примеры для различных случаев носителей спектральной меры многомерных устойчивых законов. The article discusses multidimensional strictly stable distributions. As is known, the density functions of these laws are not represented in closed form, with the exception of the well-known laws of Gauss and Cauchy. Characteristic functions are the starting point for research. There are several different forms of their presentation. The article chooses the form proposed in [1].The application of the inverse Fourier transform together with the Abel summation of the integrals made it possible to obtain expansions of the density functions of multidimensional stable distributions (see [1], [12]). The main result of the article is the representation of these functions using series of generalized functions over the Lizorkin space. They make it possible to determine the order of decay of the principal term of the expansion at infinity for any radial direction. In addition, the derived formulas make it possible to see the structure of the formation of terms in expansions. In the corollary, examples are given for various cases of the support of the spectral measure of multidimensional stable laws.