On the correctness of numerical simulation of gravitational instability with the evolution of multiple gravitational collapses

Изучена корректность численных моделей на основе SPH-метода для нестационарных задач гравитационной газодинамики с развитием гравитационных неустойчивостей, в том числе с формированием множественных коллапсов газа в околозвездном диске. Исходные дифференциальные начально-краевые задачи некорректны из-за своей неустойчивости к изменению входных данных. Показано, что в численном методе на основе SPH для решения этих некорректных задач проводится следующая регуляризация: 1) если решение исходной неустойчивой задачи существует на всей временной оси, то ограниченность области изменения переменных в численном методе позволяет удовлетворить условию его устойчивости к малым изменениям входных данных; 2) если решения исходной неустойчивой задачи существуют только на ограниченном временном интервале, как в случае множественных коллапсов, то устойчивый численный метод строится на классе функций, ограниченных фиксированной постоянной, выбираемой из физических соображений. На этом классе функций исходная задача тоже становится корректной. Комбинация SPH-метода с сеточным методом расчета гравитационных сил позволяет обеспечить такую ограниченноcть численных решений. Для выяснении смысла приближенных численных решений, получаемых в вычислительных экспериментах, следует использовать интегральные функции, слабо чувствительные к деталям численного алгоритма. We study the correctness of numerical models based on the SPH-method for nonstationary problems of gravitational gas dynamics with the development of gravitational instability, including with the formation of multiple collapses of a gas in a circumstellar disk. The original differential initial boundary value problems are ill-posed because of their instability with respect to variations of input data. It is shown that the following regularization is performed in the SPH-based numerical method of solving such problems: (1) if the solution to the original unstable problem exists on the entire time axis, then the condition of the method's stability with respect to small variations of input data is satisfied due to a bounded range of the variables; (2) if the solution of the original unstable problem exists only on a bounded time interval, as in the case of multiple collapses, then a stable numerical method can be developed on a class of functions bounded by a fixed constant chosen from physical considerations. On this class of bounded functions, the original problem becomes well-posed. A combination of the SPH method with a grid-based method of calculating the gravitational forces allows one to ensure the boundedness of numerical solutions. In order to clarify a meaning of the approximate numerical solutions obtained by computer simulations, it is necessary to use the integral functions weakly sensitive to the details of the numerical algorithm in use.