Decomposition of Elementary Transvection in Elementary Net Group

Работа связана с изучением элементарных сетей (ковров) sigma (sigmaij) и элементарных сетевых групп E(sigma). А именно, приводится разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе E(sigma). Наборы подмножеств (идеалов, аддитивных подгрупп и др.) sigmasigmaij:, 1leq i, jleq n определенного ассоциативного кольца с условиями sigmairsigmarjsubseteqsigmaij, 1leq i,r,jleq n, возникали при решении различных задач. Такие наборы назывались коврами или сетями, асвязанные сними кольца и группы ковровыми, сетевыми, обобщенными конгруэнцподгруппами и др. Назовем элементарную сеть (сеть без диагонали) sigma it замкнутой (it допустимой), если подгруппа E(sigma) не содержит новых элементарных трансвекций. Настоящая статья мотивирована вопросом В.М.Левчука (Коуровская тетрадь, вопрос15.46) о том, что необходимым и достаточным условием допустимости (замкнутости) элементарной сети sigma является допустимость (замкнутость) всех пар (sigmaij, sigmaji). Другими словами, включение элементарной трансвекции tij(alpha) в элементарную группу E(sigma) эквивалентно включению tij(alpha) в подгруппу langle tij(sigmaij), tji(sigmaji) rangle (для любых i eq j). Тем самым становится актуальным разложение элементарной трансвекции tij(alpha) в элементарной сетевой группе E(sigma). Рассматривается элементарная сеть порядка n (элементарный ковер) sigma (sigmaij) аддитивных подгрупп коммутативного кольца (сеть без диагонали), связанная с sigma производная сеть omega(omegaij), сеть Omega(Omegaij), ассоциированная с элементарной группой E(sigma), причем omegasubseteqsigmasubseteqOmega и сеть Omega является наименьшей (дополняемой) сетью, содержащей элементарную сетьsigma. Пусть R произвольное коммутативное кольцо с единицей, n натуральное число, ngeq 2. Система sigma(sigmaij), 1leqi, j leqn, аддитивных подгрупп sigmaij кольца R называется сетью (ковром) над кольцом R порядкаn, если sigmair sigmarj subseteqsigmaij при всех значениях индексов i, r, j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется textitэлементарной сетью (textitэлементарный ковер). Получено разложение элементарной трансвекции tij(alpha) из E(sigma) в произведение tij(alpha)ah двух матриц a и h, где a элемент группы langle tij(sigmaij), tji(sigmaji) rangle, h элемент сетевой группыG(tau), где tau beginpmatrix tauii AND omegaij omegaji AND taujj endpmatrix, omegaiisubseteq tauii subseteq Omegaii. Вработе получены важные характеристики матриц a и h, участвующих в разложении элементарной трансвекции tij(alpha).