Properties of Extremal Elements in the Duality Relation for the Hardy Space

Рассмотрим пространство Харди Hpв единичном круге D, p≥1. Пусть lω - линейный функционал на Hp, определяемый функцией ω∈Lq(T) где T=∂D и 1/p+1/q=1, а F - экстремальная функция для lω. На X∈Hq реализуется наилучшее приближение ω¯ в Lq(T) элементами из H0q={y∈Hq:y(0)=0}. Функции F и X называем экстремальными элементами (э.э.) для lω. Э.э. связаны соответствующим соотношением двойственности. Рассматривается задача о том, как те или иные свойства ω отразятся на свойствах э.\,э. Аналогичная задача исследуется и для случая 0<p<1. В статье Л. Карлесона и С. Кобса (1972) была изучена задача о свойствах элементов, на которых достигается нижняя грань ∥ω¯−x∥L∞(T) для заданного ω∈Lq(T) по x∈H0∞. Гипотеза авторов о том, что связь между э.э. подобна связи между ω и его проекцией на Hq, частично подтверждена в статье В. Г. Рябых (2006). Свойства э.э. для lω, когда ω - полином, изучены в статье Х. Х. Бурчаева, В. Г. Рябых и Г. Ю. Рябых (2017). В данной статье, опираясь на основной результат последней статьи и пользуясь методом последовательных приближений, доказано: если ω∈Lq∗(T), q≤q∗<∞, то F∈H(p−1)q∗, X∈Hq∗; когда производная ω(n−1)∈Lip(α,T), 0<α<1, то F=Bf, где B - произведение Бляшке, f - внешняя функция, при этом (|f(t)|p)(n−1)∈Lip(α,T). Если же функция ω аналитична вне единичного круга, то э.\,э. аналитичны в том же круге. Перечисленные результаты уточняют и дополняют подобные результаты, полученные упомянутой работе В. Г. Рябых (2006). Доказано также, что экстремальная функция для lω∈(Hq)∗, где 1/(n+1) 0, существует и обладает той же гладкостью, что и образующая функция ω.