Symmetric Polyhedra with Rhombic Vertices

В работе рассматриваются замкнутые выпуклые многогранники в трехмерном евклидовом пространстве, некоторые вершины которых являются одновременно изолированными, симметричными и ромбическими. Ромбичность вершины означает, что все грани многогранника, инцидентные этой вершине, являются равными между собой ромбами в количестве $n$. Симметричность вершины означает, что она расположена на нетривиальной оси вращения порядка $n$ многогранника. Учитывая, что совокупность всех ромбов вершины $P$ называется ромбической звездой вершины $P$, изолированность вершины $P$ означает, что ее ромбическая звезда не имеет общих точек с ромбическими звёздами других вершин многогранника. Предположим, что в многограннике имеются также грани $F_i$, не принадлежащие ни одной ромбической звезде, причём у каждой грани $F_i$ существует ось вращения, которая является локальной осью вращения звезды этой грани. Многогранники с такими условиями названы в работе $RS$-многогранниками (от первых букв слов rombic, symmetry). $RS$-многогранники оказываются связанными с многогранниками, сильно симметричными относительно вращения. Многогранники, сильно симметричные относительно вращения были ранее введены и полностью перечислены автором; они являются обобщением класса правильных (платоновых) многогранников. Отметим, что среди сильно симметричных многогранников есть семь таких, которые не являются комбинаторно эквивалентными ни правильным, ни равноугольно-полуправильным (архимедовым). В настоящей работе найдены все $RS$-многогранники и устанавливается связь некоторых из них с параллелоэдрами в трехмерном евклидовом пространстве.