On One Family of Functional Equations

$(n+1)$-мерная геометрия локальной максимальнойподвижности задается некоторой невырожденной и дифференцируемойфункцией пары точек $f$ на многообразии $M$, являющейся инвариантомгруппы движений размерности $(n+1)(n+2)/2$. Полной классификациитаких геометрий размерности $n+1$ пока нет, но хорошо известныотдельные примеры: гоеметрия евклида, симплектическая геометрия,геометрии постоянной кривизны. В последнее время методом вложениябыли найдены некоторые ранее неизвествые геометрии локальноймаксимальной подвижности. Метод вложения дает возможность нахожденияфункций $f$, задающих $(n+1)$-мерные геометрии локальноймаксимальной подвижности, по функциям $\theta$ известных $n$-мерныхгеометрией локальной максимальной подвижности. Эта задача сводится крешению функциональных уравнений специального вида, являющихсяследствием инвариантности функции пары точек $f$ относительно группыдвижений. Такие уравнения решаются в данной работе.Дифференцированием они сводятся сначала кфункционально-дифференциальным уравнениям, от которых разделениемпеременных переходим к дифференциальным уравнениям. Затем решенияпоследних уравнений подставляем в исходные функциональные уравнения,после чего получаем окончательный результат.