Mean-square approximation of complex variable functions by Fourier series in the weighted Bergman space

В работе рассматривается задача среднеквадратичного приближения функций комплексного переменного, регулярных в некоторой односвязной области, D⊂Cрядами Фурье по ортогональным системам при наличии неотрицательной интегрируемой в D весовой функции γ:=γ(|z|), т. е. когда f∈L2,γ:=L2(γ(|z|),D).Ранее В. А. Абилов, Ф. В. Абилова и М. К. Керимов в L2,γ исследовали вопросы отыскания точных оценок скорости сходимости рядов Фурье функций f∈L2,γ и доказали некоторые точные неравенства типа Джексона, вычислили значение колмогоровского n-поперечника некоторых классов функций [9]. При этом широко использовали специальный вид оператора обобщенного сдвига, благодаря которому ввели обобщенный модуль непрерывности m-го порядка и на его основе - классы функций, определяемые заданной монотонно возрастающей на R+:=[0,+∞) мажорантой.В настоящей работе продолжается исследование указанных авторов, а именно, доказывается точное неравенство Джексона - Стечкина между величиной наилучшего приближения комплексными алгебраическими полиномами функций f∈L2,γ и Lp-нормой обобщенного модуля непрерывности. Изучаются аппроксимативные свойства классов функций, у которых Lp-норма обобщенного модуля непрерывности имеет заданную мажоранту.При некоторых условиях на мажоранте для введенных классов функций в L2,γ вычисляются бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный n-поперечники. Доказывается, что все поперечники совпадают и оптимальными подпространствами являются подпространства алгебраических комплексных полиномов.