Derivations with Values in an Ideal F-spaces of Measurable Functions

Известно, что на любой коммутативной алгебре фон Неймана L∞(Ω,μ)каждое дифференцирование тождественно равно нулю. В то же время, на коммутативной алгебре L0(Ω,μ) всех комплексных измеримых функций, заданных на неатомическом пространстве с мерой (Ω,μ), всегда существуют ненулевые дифференцирования. При этом каждое дифференцирование на L∞(Ω,μ), принимающее значения в нормированном идеальном подпространстве X⊂L0(Ω,μ), обязательно является нулевым. Аналогичный факт остается верным и для квазинормированных идеальных подпространств X⊂L0(Ω,μ).Естественно возникает вопрос о существовании ненулевых дифференцирований, определенных на L∞(Ω,μ), со значениями в F-нормируемом идеальном пространстве X⊂L0(Ω,μ), т. е. идеальном пространстве, снабженном монотонной F-нормой. Мы даем необходимые и достаточные условия для полных F-нормируемых идеальных пространств X, обеспечивающие наличие ненулевых дифференцирований δ:L∞(Ω,μ)→X. В частности, показано, что в случае порядковой полунепрерывности F-нормы ∥⋅∥X каждое дифференцирование δ:L∞(Ω,μ)→(X,∥⋅∥X) является нулевым. В то же время, наличие неатомического идемпотента 0≠e∈X, μ(e)<∞, для которого топология сходимости по мере в e⋅X совпадает с топологией, порожденной F-нормой, обеспечивает существование ненулевого дифференцирования из L∞(Ω,μ) в X. Примерами таких F-нормируемых идеальных пространств служат алгебры L0(Ω,μ) для неатомических измеримых пространств (Ω,μ), наделенные F-нормой ∥f∥Ω=∫Ω|f|1+|f|dμ. Для таких F-пространств имеется не менее континуума попарно различных ненулевых дифференцирований из L∞(Ω,μ) в (L0(Ω,μ),∥⋅∥Ω).