Invariant estimation of functions

Let Z be a random variable taking values in a space ℒ with unknown distribution indexed by θϵΩ, letψ:Ω × →[0, 1] be a given function, and consider the problem of estimating (θ, Z) with δ( Z ), where the risk is θ l(δ(Z)‐ψ(θ, Z )). The form of minimum‐risk invariant estimators is derived, and versions of the Rao‐Blackwell and Hunt‐Stein theorems are given. The results are applied in two areas: conditional properties of confidence and prediction regions, and the estimation of distribution functions, quantiles, and events. Soit Z une variable aleatoire prenant ses valeurs dans un espace ℒ et dont la loi est indicée par un paramètre inconnu θϵΩ. Soit aussi θϵΩ, letψ:Ω × ℒ →[0, 1] une application arbitraire, et supposons qu'on veuille estimer ψ(θ, Z ) par une fonction δ de Z en minimisant le risque E l(δ(Z)‐ψ(θ, Z ). Nous donnons ici la forme explicite des estimateurs invariants δ( Z ) et nous adaptons les théorèmes de Rao‐Blackwell et de Hunt‐Stein à ce contexte. Nous appliquons ensuite nos résultats à deux problémes bien particuliers. Le premier concerne les propriétés conditionnelles des régions de confiance et de prédiction, tandis que le second a trait à l'estimation ďévénements, de quantiles ou de fonctions de répartition.