Transient analysis of birth‐death processes with two boundaries

This paper considers a birth‐death process with constant birth rate, constant death rate, and a finite set of states {0,1, …, m – 1}. If the process is in state 0 and a death occurs, it goes instantaneously to state k with a given probability, and if it is in state m – 1 and a birth occurs, it goes to state k with another given probability. The Laplace transform of the generating function for the probabilities is obtained. The steady‐state probabilities and a polynomial equation for the poles of the transform are then obtained. The particular example where the process moves a units into the interior whenever it reaches a boundary is examined. This example includes, for a = 0, the well‐known M / M /1 queue with a finite waiting room. Considérons un processus de naissance et de mort possédant un ensemble fini ďétats {0,1, …, m – 1} et dont les taux de naissance et de mort sont tenus constants. Lorsque le processus est dans l'état 0 et qu'un décès survient, on convient de renvoyer le processus à l'état k avec une certaine probabilité fixée a l'avance; de měme, le processus revient à l'état k si une naissance survient au moment il se trouve dans l'état m – 1. Sous de telles hypothèses, nous calculons la transformée de Laplace de la fonction génératrice des probabilités de transition. Les pǒles de cette transformée doivent satisfaire une équation polynomiale que nous déduisons. Nous déduisons aussi les probabilités stationnaires du processus. Nous examinons de façon particulière le cas où le processus se déplace de a unités vers l'intérieur à chaque fois qu'il atteint l'une des extrémités de son domaine. Lorsque a = 0, cet exemple se réduit au cas classique ďun phénomène ďattente de type M / M /1 avec salle ďattente à capacite finie.