Константа Никольского для тригонометрических полиномов с периодическим весом Гегенбауэра

В работе изучается константа Никольского (или константа Джексона-Никольского)для комплексных тригонометрических полиномов в пространстве$L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})$ при $p\ge 1$ с периодическим весом Гегенбауэра$|\!\sin x|^{2\alpha+1}$:$$\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)=\sup_{T\in \mathcal{T}_{n}\setminus \{0\}}\frac{\|T\|_{\infty}}{\|T\|_{p}},$$где $\|{\,\cdot\,}\|_{p}=\|{\,\cdot\,}\|_{L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})}$.Д. Джексон (1933) доказал, что $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)\le c_{p}n^{1/p}$ длявсех $n\ge 1$. Задача нахождения $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)$ имеетдолгую историю. Однако точные значения известны только при $p=2$. При $p=1$задача имеет интересные приложения, например, в теории чисел. Отметимрезультаты Я. Л. Геронимуса, Л. В. Тайкова, Д. В. Горбачева, И. Е. Симонова,П. Ю. Глазыриной. Для $p>0$ отметим результаты И. И. Ибрагимова, В. И. Иванова,Е. Левина, Д. С. Любинского, М. И. Ганзбурга, С. Ю. Тихонова, в весовом случае -В. В. Арестова, А. Г. Бабенко, М. В. Дейкаловой, А. Хорват. Доказывается, что супремум здесь достигается на действительном четномтригонометрическом полиноме с максимумом модуля в нуле. Как следствие,установлена связь с алгебраической константой Никольского с весом$(1-x^{2})^{\alpha}$, исследованная В. В. Арестовым и М. В. Дейкаловой (2015).Доказательство следует их методу и базируется на положительном оператореобобщенного сдвига в пространстве $L^{p}_{\alpha}(\mathbb{T})$ с периодическим весомГегенбауэра. Этот оператор был построен и изучен Д.~В.~Чертовой (2009). Какприложение, предлагается подход к вычислению $\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)$ наоснове соотношений двойственности Арестова-Дейкаловой.