Тригонометрические суммы в метрической теории диофантовых приближений

Это обзор результатов по метрической теории диофантовых приближений на многообразиях в n -мерном евклидовом пространстве, в доказательстве которых используются тригонометрические суммы. Мы приводим как классические теоремы, так и современные результаты для многообразий Γ, dim Γ = m , n /2 < m < n . Мы также показываем, как происходит переход от задачи о диофантовых приближениях к оценке тригонометрической суммы или тригонометрического интеграла, и приводим необходимые соображения теории меры. Если m ≤ n /2, то обычно используют другие методы. Например, метод существенных и несущественных областей или методы эргодической теории. Здесь даны две фундаментальные теоремы рассматриваемой теории. Одну из них в 1977 г. доказал В. Г. Спринджук. Другую теорему в1998 г. получили Д. И. Клейнбок и Г. А. Маргулис. Первая теорема была доказана методом тригонометрических сумм. Вторая теорема – методами эргодической теории. Для ее доказательства авторами была найдена связь между диофантовыми приближения и однородными динамическими системами. В заключении кратко упоминаем о тенденциях развития метрической теории диофантовых приближений зависимых величин, даем ссылки на ее современные аспекты.