Теорема о среднем для неполных рациональных тригонометрических сумм

При 2k > 0.5n(n+1)+1 0 ≤ l ≤ 0,5k−w−1,w = [lnn/lnp,] доказана асимптотическая формула для числа решений системы сравнений {x 1 +···+ xk ≡ y 1 +···+ yk (mod p m ) Xn/1 +···+ xn/k ≡ yn/1 +···+ yn/k (mod p m )}, где неизвестные x 1 ,...,x k ,y 1 ,...,y k пробегают значения от 1 до pm−l из полной системы вычетов по модулю p m . При 2k ≤ 0.5n(n + 1) + 1 найденная формула не имеет места. Пусть 1 ≤ s s + r +···+ n для числа решений системы сравнений {xs/1 +···+ xs/k ≡ ys/1 +···+ ys/k (mod p m ) xr/1 +···+ xr/k ≡ yr/1 +···+ yr/k (mod p m ) xn/1 +···+ xn/k ≡ yn/1 +···+ yn/k (mod p m )}, где неизвестные x 1 ,...,x k ,y 1 ,...,y k принимают значения от 1 до p m − l из полной системы вычетов по модулю p m , найдена асимптотическая формула. Эта формула не имеет места при 2k ≤ s + r +···+ n.