Обобщение задачи А. И. Мальцева о коммутативных подалгебрах на алгебры Шевалле

В 1945 году А.И. Мальцев исследовал задачу описания абелевыхподгрупп наивысшей размерности в комплексных простых группах Ли.Задача инспирирована доказанной ранее И. Шуром теоремой: \ {\itНаивысшая размерность абелевых подгрупп группы $SL(n,\mathbb{C})$равна $[n^2/4]$ и абелевы подгруппы этой размерности при $n>3$переводятся автоморфизмами друг в друга.} Свою задачу А.И. Мальцеврешил переходом к комплексным алгебрам Ли. В теории Картана --Киллинга полупростые комплексные алгебры Ли классифицированы сиспользованием классификации систем корней евклидовых пространств$V$. С любой неразложимой системой корней $\Phi$ и полем $K$ассоциируют алгебру Шевалле ${\cal L}_\Phi(K)$; ее базу дают базаопределенной абелевой самонормализуемой подалгебры $H$ и элементы$e_r$ $(r\in \Phi)$ с $H$-инвариантным подпространством $Ke_r$.Элементы $e_r$ $(r\in\Phi^+)$ образуют базу нильтреугольнойподалгебры $N\Phi(K)$. Методы А.~И.~Мальцева позднее получилиразвитие в решении проблемы о больших абелевых подгруппах конечныхгрупп Шевалле. В настоящей статье мы используем разработанныеметоды для перенесения теоремы А.И. Мальцева на алгебры Шевалле.Мы исследуем следующие задачи: {\bf (A)} \ {\it Описать коммутативные подалгебры наивысшейразмерности в алгебре Шевалле ${\cal L}_\Phi(K)$ над произвольнымполем $K$.} {\bf (B) }\ {\it Описать коммутативные подалгебры наивысшейразмерности в подалгебре $N\Phi(K)$ алгебры Шевалле ${\calL}_\Phi(K)$ над произвольным полем $K$.} В статье приводится описание коммутативных подалгебр наивысшейразмерности алгебры $N\Phi(K)$ классического типа над произвольнымполем $K$ с точностью до автоморфизмов алгебры ${\cal L}_\Phi(K)$и подалгебры $N\Phi(K)$.