Об истории оценок константы наилучших совместных диофантовых приближений

В данной работе проводится исторический обзор результатов по проблеме оценки константынаилучших совместных диофантовых приближений для $ n $ действительных чисел. Эта проблемаявляется частным случаем более общей проблемы приближения $ n $ действительных линейных форм и имеет свою богатую историю,восходящую к П.~Г.~Дирихле. Мы в большей степени остановимся на подходе Г.~Дэвенпорта, основанномна связи диофантовых приближений с геометрией чисел. В первой части дается обзоррезультатов, полученных для $ n = 1 $ и $ n = 2 $ действительных чисел.Исторически, в основе оценок для $ n = 1 $ лежит теория цепных дробей, и наиболее значимой являетсяоценка А.~Гурвица, полученная им в 1891 году. Для $ n = 2 $ в основе известных оценок лежитматематический аппарат линейной алгебры (Ф.~Фуртвенглер),геометрия чесел (Г.~Дэвенпорт, Дж.~В.~С.~Касселс) и результаты многомерных обобщений цепных дробей(В.~Адамс, Т.~Кьюзик). Вторая часть посвящена одной из первых общих оценок снизу, полученной в 1929 году Ф.~Фуртвенглером.Он построил оценки дискриминантов алгебраических полей, которые приводят к оценке качества приближения$ n $ действительных чисел рациональными, что в свою очередь приводит в оценке константынаилучших совместных диофантовых приближений. В третьей часть изложена наиболее фундаментальная из известных на данный момент оценок, полученнаяГ.~Дэвенпортом, а затем доработанная Дж.~В.~С.~Касселсом. Г.~Дэвенпорт обнаружил связь между значениемкритического определителя решеток и оценкой некоторых форм. В частном случае, это позволяетвычислив критический определитель специальной решетки, получить значение константынаилучших совместных диофантовых приближений. Однако, вычисление критических определителейдля решеток такого вида является сложной задачей. Поэтому Дж.~В.~С.~Касселс перешелот непосредственного вычисления критического определителя, к оценке его значения.Этот подход оказался достаточно плодотворным, позволив получить оценки константынаилучших совместных диофантовых приближений для $ n = 2, 3, 4 $. В четвертой части дается обзор известных оценок снизу для $ n > 2 $.Эти результаты основаны на использовании вышеупомянутого подхода Дж.~В.~С.~Касселса.Стоит отметить, что оценки такого рода являются достаточно сложной вычислительной задачей,и в каждом отдельном случае решение такой задачи требовало использования новых подходов. В последней части мы приведем обзор некотрых известных оценок константынаилучших диофантовых приближений сверху. Хотя данная проблема не является основной темой даннойстатьи, значительный интерес представляет сравнение подходов при оценкиконстанты наилучших совместных диофантовых приближений сверху и снизу.Первая оценка сверху была получена Г.~Минковским в 1896 году с ипользованием геометрии чисел.Г.~Ф.~Блихфельдт введя понятие фундаметального параллелепипеда в 1914 годуулучшил результат Г.~Минковского. Позднее подход Г.~Ф.~Блихфельдта получилразвитие в работах П.~Мюллендера, В.~Спона, В.~Г.~Новака.