Логика, единство в трёх лицах

Эта работа в своей большей части имеет обзорный характер. В ней рассмотрены некоторые основополагающие результаты, полученные в рамках так называемой алгебраической логики. В частности, обсуждаются факты о взаимосвязях, существующих между такими основными синтаксическими объектами логики, как логическое следование, операция добавления следствий и решётка теорий логики.Основное внимание в работе уделяется обоснованию того факта, что для того, чтобы определить логику синтаксически, необходимо и достаточно задать один из этих объектов. Для этого детально показано, как задание одного из этих объектов полностью определяет и два других объекта, а значит, и логику. А именно, показано что отношение логического следования определяет и операцию добавления следствий, и решётку теорий логики. В свою очередь, задание оператора добавления следствий определяет и логическое следование, и решётку теорий логики. Особенно подробно рассматриваются условия, которые являются необходимыми и достаточными для того, чтобы семейство множеств формул порождало операцию замыкания, которую можно трактовать как операцию добавления следствий. Для этого в работе вводится понятие семейства множеств формул, образующего решётку теорий. Доказывается, что такое семейство определяет логику. Намечаются возможные подходы к способам задания таких семейств.В заключение обращается внимание на то, что наиболее популярные синтаксические определения логик (такие, как исчисления секвенций, исчисления фрегевского типа, замыкание множеств относительно правил вывода) одинаково успешно можно понимать как определения и логического следования, и операции добавления следствий, и компактных элементов решётки теорий логики (а значит, в силу её алгебраичности, и самой решётки теорий). DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-9-25