Екстремальна задача для інваріантних диференціальних операторів на класі інтегралів типу Коші

Диференціальні оператори  D1( f )(z) = (1- |z|2 )δf (z) / δz і  D2( f ) = D21 ( f ) на просторі голоморфних функцій в одиничному крузі D є інваріантними відносно композицій голоморфних функцій з дробово-лінійними функціями. Вони природним чином виникають у дослідженнях голоморфних функцій із класу Блоха β, який відіграє важливу роль в геометричній теорії функцій комплексної змінної. Відомо, що образи операторів Dj ( f ) , j =1,2, є ліпшицевими функціями відносно псевдогіперболічної метрики ρ(z,w) в одиничному крузі, а саме supfєβ || D1( f )(z)|-|D1( f )(w) ||/ ρ(z,w) = 3√ 3 / 2 . У даній роботі розв’язано екстремальну задачу про точне значення величини supf |D1( f )(z)-D2( f )(w)| / ρ(z, w), коли f пробігає клас інтегралів типу Коші, який, як добре відомо, є підкласом функцій Блоха.