Метод Римана для уравнений с доминирующей частной производной

Данная обзорная статья посвящена классу линейных уравнений с доминирующей частной производнойвида $(D+M)u=f$, где $Du$ - смешанная частная производная, а $M$ - линейный дифференциальный оператор, содержащий производные функции $u$, получаемые из $D$ отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования. Можно отметить структурное сходство таких уравнений с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Излагается метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной, являющийся естественным обобщением хорошо известного метода Римана для гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.В статье изложены основные положения теории, разработанной для уравнения с доминирующей частной производной общего вида, позволяющие заинтересованному читателю применить полученные результатык интересующей его задаче. Дается определение функции Римана как решения интегрального уравнения Вольтерры, приведено основное дифференциальное тождество, продемонстрирован процесс получения формулы решения задачи Коши в терминах функции Римана путем интегрирования указанного тождества по соответствующей области в $n$-мерном пространстве. Приведен пример построения решения задачи Коши для одного уравнения третьего порядка.Далее излагается метод Римана для достаточно широкого класса линейных систем уравнений гиперболического типа (в том числе с кратными характеристиками). Данный метод идейно весьма близок к методу Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной.Обсуждаются вопросы приложений метода Римана к исследованию новых задач для уравнений с частными производными. В частности, с использованием метода Римана доказана корректность новых граничных задач для факторизованных гиперболических уравнений, исследованы вопросы разрешимости интегральных уравнений с частными интегралами, определенная модификация метода Римана позволяет развивать метод Римана-Адамара для задач Дарбу. Представление решений гиперболических систем в явном виде в терминах матрицы Римана позволяет исследовать новые граничные задачи, в частности, задачи с заданием нормальных производных искомых функций на характеристиках, задачи с условиями на всей границе области, задачи Дарбу.Изложенный здесь метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной очевидным образом переносится на матричные уравнения. В связи с этим указаны некоторые случаи, когдадля таких матричных уравнений построена в явном виде (в терминах гипергеометрических функций)матрица Римана.В работе дается обзор литературы, кратко излагается история развития данного направления в России и за рубежом.