Η κατανόηση της έννοιας του ορίου πραγματικών συναρτήσεων δύο μεταβλητών σε πανεπιστημιακό επίπεδο

Αρκετές έρευνες έχουν διεξαχθεί με σκοπό να διερευνηθεί πώς οι πρωτοετείς φοιτητές ‘αυστηροποιούν’ τις διαισθητικές τους εικόνες, ώστε να κατανοήσουν τον τυπικό ορισμό του ορίου, καθώς μεταβαίνουν από τα σχολικά Μαθηματικά στα πιο αυστηρά τυπικά Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο. Οι φοιτητές σε ένα πρώτο μάθημα της Πραγματικής Ανάλυσης Ι αποκτούν εμπειρία στα όρια συναρτήσεων μιας μεταβλητής στο διακριτό πεδίο/επίπεδο και στο συνεχές. Εξαιτίας αυτού, πολλοί ερευνητές έχουν ασχοληθεί με την έννοια του ορίου στην περίπτωση της μίας μεταβλητής, αλλά πολύ λιγότεροι έχουν ασχοληθεί με την περίπτωση των δύο μεταβλητών. Η διατριβή αυτή, επιχειρεί να παρουσιάσει μία έρευνα που αποτελείται από δύο πειράματα που διενεργήθηκαν σε δευτεροετείς φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Οι φοιτητές ασχολήθηκαν με εναλλακτικούς ορισμούς και προσεγγίσεις του ορίου συναρτήσεων που έχουν πεδίο ορισμού το R^2 και εικόνα στο R και που ικανοποιούν αναγκαίες και ικανές συνθήκες ή μόνο αναγκαίες. Ειδικότερα, στους φοιτητές δόθηκαν προβλήματα με τη μορφή test που περιλάμβαναν τη διερεύνηση της οριακής συμπεριφοράς μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών με τη χρήση διαφορετικών προσεγγίσεων. Οι γραπτές απαντήσεις των φοιτητών αλλά και οι συνεντεύξεις μαζί τους, αναλύθηκαν ως προς τον τρόπο που αιτιολογούσαν τις επιλογές τους και ως προς τις εικόνες που σχημάτισαν για την έννοια του ορίου. Αρκετοί από τους φοιτητές που συμμετείχαν, κατάφεραν ως ένα βαθμό να αντιπαραβάλουν τους διαφορετικούς ορισμούς και προσεγγίσεις μεταξύ τους. Ωστόσο, άλλοι φοιτητές από τις δύο ομάδες συμμετεχόντων φάνηκε να υιοθετούν τεχνικές ‘ρουτίνας’ και δεξιότητες χειρισμού που στερούνταν εννοιολογικής βάσης. Επιπλέον, τα σχήματα που σχεδίασαν οι φοιτητές ήταν ελλιπή και δεν ήταν σε θέση να εξηγήσουν πειστικά τον τρόπο διαμόρφωσής τους. Παράλληλα, παρατηρήθηκαν παρανοήσεις σχετικά με το πώς αντιλαμβάνονταν τα όρια για συναρτήσεις μίας μεταβλητής˙, και, όπως ήταν αναμενόμενο, μετέφεραν τις εννοιακές τους εικόνες από την περίπτωση αυτή στην περίπτωση των δύο μεταβλητών. Οι παρανοήσεις των φοιτητών όσον αφορά την έννοια του ορίου, πιστεύουμε ότι οφείλονται στη ‘φύση’ αυτή καθαυτή του αντικειμένου, αλλά και στη μη αποτελεσματική διδακτική προσέγγιση, μέσω της οποίας παρουσιάζεται πολλές φορές η έννοια αυτή και οι αντίστοιχοι ορισμοί της τόσο στη διδασκαλία, όσο και στην παρουσίαση σε ορισμένα εγχειρίδια. Επίσης, σημειώνουμε ότι η γνώση που εφαρμόζεται αποτελεσματικά και εδραιώνεται στο πλαίσιο μιας συγκεκριμένης περιοχής γνώσης, μπορεί να αποτύχει να εφαρμοστεί ικανοποιητικά σε ένα άλλο πλαίσιο. Πράγματι, αυτό φαίνεται από τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι φοιτητές όταν εξετάζουν την ύπαρξη του ορίου μια συνάρτησης δύο μεταβλητών ακόμα και εάν είναι εξοικειωμένοι με τη συγκεκριμένη έννοια στην περίπτωση της μίας μεταβλητής.