Order reduction of large thermal and electrical models with system-theoretic techniques and matrix equation algorithms

Η αριθμητική προσομοίωση των σύγχρονων υποσυστημάτων των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, όπως τα ηλεκτρικά δίκτυα, οι αγωγοί διασύνδεσης και οι περιοχές υποστρώματος, έχουν θεμελιώδη σημασία για την βιομηχανία ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Τα ηλεκτρικά μοντέλα των προαναφερθέντων συστημάτων είναι τεράστια και η λειτουργική τους προσομοίωση απαιτεί την επίλυση συστημάτων εξισώσεων με διαστάσεις που μπορούν να φτάσουν αρκετά εκατομμύρια. Οι τεχνικές υποβιβασμού τάξης μοντέλου (model order reduction - MOR) παρέχουν ελκυστικούς τρόπους για τη μείωση αυτών των πολύπλοκων μοντέλων, αντικαθιστώντας τα με μοντέλα με πολύ μικρότερες εσωτερικές διαστάσεις των οποίων η συμπεριφορά στις θύρες εισόδου / εξόδου (ports) προσεγγίζει αυτή των αρχικών μοντέλων. Οι μέθοδοι MOR τύπου “εξισορρόπησης και αποκοπής” (Balanced Truncation - BT) των εσωτερικών καταστάσεων που είναι ταυτόχρονα μη επαρκώς ελέγξιμες από τις εισόδους και μη επαρκώς παρατηρήσιμες στις εξόδους, διαθέτουν το πλεονέκτημα των πολύ αξιόπιστων εκτιμήσεων για την ακρίβεια προσέγγισης του μειωμένου μοντέλου. Εμπεριέχουν, όμως, σημαντικό υπολογιστικό και αποθηκευτικό κόστος για την εξαγωγή των μειωμένων μοντέλων, καθώς απαιτούν την επίλυση δαπανηρών εξισώσεων πυκνών πινάκων τύπου Lyapunov, γεγονός που τις καθιστά άμεσα εφαρμόσιμες μόνο σε μοντέλα της τάξης λίγων χιλιάδων καταστάσεων. Για να απαλειφθεί το υπολογιστικό κόστος και οι ανάγκες αποθήκευσης, έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι παραγοντοποίησης χαμηλού βαθμού (low-rank) που επιτρέπουν την χρήση αυτών των μεθόδων σε πραγματικές εφαρμογές. Η έμφαση στην παρούσα εργασία δίνεται σε κυκλωματικά και θερμικά μοντέλα που προκύπτουν από ολοκληρωμένα κυκλώματα και στον υπολογισμό του ελαττωμένου μοντέλου σε συγκεκριμένα παράθυρα συχνοτήτων ή χρόνου, καθώς και στην αποδοτική υλοποίηση μεθόδων τύπου Balanced Truncation. Στις περισσότερες εφαρμογές το κύκλωμα προορίζεται να λειτουργεί μόνο σε συγκεκριμένα παράθυρα συχνοτήτων, πράγμα που σημαίνει ότι το το μοντέλο μειωμένης τάξης μπορεί να γίνει άσκοπα μεγάλο για να επιτευχθεί προσέγγιση σε όλες τις συχνότητες. Αντίστοιχα στα θερμικά μοντέλα υπάρχει συνήθως ένας τελικός χρόνος κατά τον οποίο όλες οι θερμικές επιδράσεις μπορούν να θεωρηθούν ότι έχουν φθάσει σε σταθερή κατάσταση. Η εστίαση δίνεται σε μεθόδους υποβιβασμού τάξης μοντέλου σε συγκεκριμένα παράθυρα συχνοτήτων ή χρόνου, σε συνδυασμό με την αποδοτική υλοποίησης αραιών μεθόδων για τον υπολογισμό των εξισώσεων πινάκων τύπου Lyapunov με σκοπό τον χειρισμό μεγάλων μοντέλων εισόδου.