Διαχωρισμένες ακολουθίες σε χώρους με νόρμα

Στην παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με διαχωρισμένες ακολουθίες σε χώρους με νόρμα. Μια ακολουθία σε ένα χώρο με νόρμα Χ λέγεται δ- διαχωρισμένη αν οι ανά δύο αποστάσεις των στοιχείων είναι μεγαλύτερες ή ίσες του δ, όπου δ μια θετική σταθερά. Στο κεφάλαιο 1 της διατριβής παρουσιάζονται ποικίλες επεκτάσεις, στις πεπερασμένες διαστάσεις, ενός αποτελέσματος του C. A. Kottman (1975) [19], αν Χ ένας απειροδιάστατος χώρος με νόρμα, τότε υπάρχει ένα άπειρο υποσύνολο στοιχείων του Χ, νόρμας 1, των οποίων οι ανά δύο αποστάσεις είναι μεγαλύτερες του 1. Μάλιστα τα στοιχεία του συνόλου αυτού μπορούν να επιλεγούν ως γραμμικοί συνδυασμοί, με συντελεστές 0, 1 και -1, ενός Auerbach συστήματος του Χ. Έτσι διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το ανάλογο του προηγούμενου αποτελέσματος σε χώρους πεπερασμένης διάστασης (Θεώρημα 1.1.12) : Έστω Χ χώρος με νόρμα αν dimX=n, τότε για οποιοδήποτε Auerbach βάση του Χ μπορούμε να προσδιορίσουμε n+1 γραμμικούς συνδυασμούς, νόρμας 1, της βάσης με συντελεστές 0, 1 και -1 των οποίων οι ανά δύο αποστάσεις να είναι μεγαλύτερες του 1. Το τελευταίο επιτυγχάνεται αποδεικνύοντας το εξής συνδυαστικό αποτέλεσμα (Θεώρημα 1.1.8): Αν Α ένα υποσύνολο ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου n διαστάσεων, που αποτελείται από διανύσματα με συντεταγμένες 0, 1, -1, περιέχει τη βάση του χώρου και είναι συμμετρικό, τότε υπάρχει ένα υποσύνολο Β του Α με n+1 στοιχεία των οποίων οι ανά 2 διαφορές δεν ανήκουν στο Α ή αλλιώς το Β είναι ελεύθερο διαφορών ως προς το Α. Ανάλογα αποτελέσματα αποδεικνύονται για πραγματικούς χώρους με νόρμα και σύνολα ελεύθερα αθροισμάτων καθώς και για μιγαδικούς χώρους με νόρμα. Στο δεύτερο κεφάλαιο της διατριβής ασχολούμαστε με το πρόβλημα της μη ύπαρξης απείρων ισόπλευρων συνόλων σε απειροδιάστατους χώρους Banach. Ισόπλευρο σύνολο σε ένα χώρο Banach είναι ένα σύνολο διανυσμάτων των οποίων οι ανά δύο αποστάσεις είναι σταθερές και ίσες μεταξύ τους. Ο πρώτος που κατασκεύασε παραδείγματα χώρων Banach που δεν περιέχουν άπειρα ισόπλευρα σύνολα είναι ο Terenzi ([29], [30]). Το πρώτο παράδειγμα του Terenzi [29] είναι ένας χώρος ισόμορφος με τον l_1 ενώ το δεύτερο ένας χώρος ισομετρικός με υπόχωρο του l_1. Χρησιμοποιώντας την τεχνική του Terenzi δίνουμε ένα παράδειγμα ενός χώρου Banach που δεν περιέχει άπειρο ισόπλευρο σύνολο και κατά κάποιο τρόπο είναι μακριά από τον l_1 (Πόρισμα 2.2.5). Στο τρίτο κεφάλαιο της διατριβής ασχολούμαστε με μία επέκταση της κλασικής έννοιας του αντιποδικού συνόλου, η οποία αφορά πραγματικούς διανυσματικούς χώρους πεπερασμένης διάστασης, σε χώρους με νόρμα οποιασδήποτε διάστασης. Η επέκταση αυτή έγινε στο άρθρο των Βασιλειάδη και Μερκουράκη [24] όπου και εισήχθη η ισχυρότερη έννοια των φραγμένων και διαχωρισμένων αντιποδικών συνόλων. Έτσι αν Χ ένας χώρος Banach, ένα υποσύνολο S του Χ λέγεται φραγμένο διαχωρισμένο και αντιποδικό αν το S περιέχεται στη μπάλα του Χ και υπάρχει d>0 ώστε για κάθε x≠y∈S υπάρχει συνεχές γραμμικό συναρτησοειδές f, νόρμας το πολύ 1, ώστε f(x)-f(y)≥d και f(y)≤f(z)≤f(x), για κάθε z∈S. Είναι φανερό ότι ένα τέτοιο σύνολο είναι d-διαχωρισμένο. Το βασικό ερώτημα το οποίο μας απασχολεί είναι αν σε κάθε χώρο Banach Χ περιέχεται ένα άπειρο σύνολο με τις παραπάνω ιδιότητες και d>1. Στο παρόν κεφάλαιο δίνεται καταφατική απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα (Θεώρημα 3.19) και εξετάζονται και άλλα συναφή ερωτήματα.