Mathematical modeling through topological surgery and applications

Η τοπολογική χειρουργική χρησιμοποιείται για την κατασκευή νέων πολλαπλοτήτων από γνωστές. Παρατηρήσαμε ότι πολλά φαινόμενα στη φύση και πολλές φυσικές διεργασίες, τόσο του μικροκόσμου όσο και του μακροκόσμου, μπορούν να εξηγηθούν μέσω της τοπολογικής χειρουργικής σε μία, δύο και τρεις διαστάσεις. Προκειμένου να δώσουμε επιτυχή τοπολογικά μοντέλα για αυτά τα φαινόμενα, εισαγάγαμε νέες έννοιες στην τοπολογική χειρουργική όπως: εισαγωγή δυνάμεων και κέντρων έλξης, εισαγωγή της έννοιας της στερεάς χειρουργικής καθώς και της έννοιας της εμβαπτισμένης χειρουργικής στον τρισδιάστατο χώρο. Για παράδειγμα, η έννοια της εμβαπτισμένης 1-διάστατης 0-χειρουργικής επιτρέπει τη δημιουργία κόμβων και μπορεί να περιγράψει φαινόμενα όπως η αναδιάταξη του DNA, η δημιουργία νέων γονιδίων κατά την διαδικασία της μείωσης και η μαγνητική επανασύνδεση των κοσμικών μαγνητικών γραμμών. Ένα παράδειγμα στις 2 διαστάσεις είναι η έννοια της εμβαπτισμένης στερεής 2-διάστατης 0-χειρουργικής η οποία μας επιτρέπει να εξετάσουμε τί συμβαίνει και στον υπόλοιπο χώρο. Το συγκεκριμένο μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει τοπολογικά μη τοπικά φαινόμενα όπως είναι η δημιουργία τυφώνων αλλά και η δημιουργία των Falaco solitons. Επιπλέον, συνδέουμε την τοπολογική χειρουργική με ένα τρισδιάστατο μη-γραμμικό δυναμικό σύστημα Lotka-Volterra και αντιστοιχούμε τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του συστήματος με τα βασικά στοιχεία της χειρουργικής. Το τελευταίο μέρος του διδακτορικού αφορά τους τρόπους απεικόνισης της τρισδιάστατης χειρουργικής και την σύνδεση αυτής με κοσμολογικά φαινόμενα. Καθώς η τρισδιάστατη χειρουργική είναι μια διαδικασία η οποία συμβαίνει στο τετρασδιάστατο χώρο, η απεικόνιση της χρειάστηκε να χρησιμοποιήσουμε τοπολογικά εργαλεία και ιδιότητες που παρατηρήσαμε στις χαμηλότερες διαστάσεις. Τέλος, δείχνουμε πώς η τρισδιάστατη χειρουργική σχετίζεται με τις μελανές οπές παρουσιάζοντας ένα καινούργιο μοντέλο για την δημιουργία των μελανών οπών από κοσμικές χορδές.