Localisation de L'Espace de Hardy H 1 et Opérateurs de Calderón–Zygmund

Le but de cet article est de démontrer une version locale de certains résultats classiques concernant l'espace de Hardy H 1 et l'action sur cet espace des opérateurs de Calderón–Zygmund. Plus précisément, voici deux exemples de questions étudiées. La première concerne l'invariance de l'espace H 1 relativement aux fonctions maximales utilisées pour le définir. On sait que, si une fonction f est telle qu'une certaine fonction maximale raisonnable M 1 f soit intégrable dans R n , alors toute autre fonction maximale raisonnable M 2 f est également intégrable dans R n . Si on suppose seulement que M 1 f est intégrable sur une boule de R n , que peut‐on dire de l'intégrabilitéde M 2 f ? La seconde concerne l'action sur l'espace H 1 des opérateurs de Calderón–Zygmund. Un résultat classique de cette théorie affirme que, si T est un opérateur de Calderón–Zygmund (respectivement un opérateur de Calderón–Zygmund vérifiant la condition T *(I) = 0) et si f ∈ H 1 , alors T ( f ) ∈ L 1 (respectivement T ( f ) ∈ H 1 ). Que peut‐on dire de T ( f ), si on suppose seulement qu'une certaine fonction maximale associée à f est intégrable sur une boule de R n ? La deuxième question s'est naturellement posée au cours de notre travail [ 3 ], dans lequel nous avons eu besoin de certains résultats de la Section 4 du présent article. A notre connaissance, ces résultats ne se trouvent pas dans la littérature et pour les obtenir, on doit “localiser” convenablement les méthodes utilisées classiquement pour établir les résultats globaux correspondants; nous en rappelons les grandes lignes, qui fixent le plan de notre article. La description de l'action des opérateurs de Calderón–Zygmund sur H 1 est basée sur la décomposition atomique de cet espace; de façon un peu similaire, notre réponse à la deuxième question passe par le résultat de localisation de la Section 3 qui est, sans être aussi précis, dans l'esprit des décompositions atomiques. A son tour, la décomposition atomique de H 1 est une conséquence du fait que cet espace puisse être défini au moyen de “grandes” fonctions maximales; parallèlement, notre résultat de localisation de la Section 3 utilise une version locale de ce résultat, qui fait l'objet de la Section 2.