Un Théorème De Littlewood Pour Les Nombres Premiers De Beurling

En 1914, Littlewood a montré, contre l'opinion courante à l'époque, qu'il existe des valeurs de x pour lesquelles le nombre de nombres premiers inférieurs à x , π( x ), dépasse le logarithme intégral de x , li x . Plus précisément, il a établi que, pour un K > 0 convenable, il existe une infinité de valeurs de x pour lesquellesπ ( x ) − li   x > K √ x log x log   log   log   x ,et aussi [ 1 ] une infinité de valeurs de x pour lesquellesli   x − π ( x ) > K √ x log x log   log   log   x .En 1937, Beurling a instauré une nouvelle manière de considérer les problèmes sur les nombres premiers, en introduisant les ‘nombres premiers généralisés’ [ 2 ]. L'idée est de partir d'une fonction croissante P ( x ) ( x ⩾ 0), nulle sur [0, 1], qui joue le rôle de π( x ). On lui associe la fonction dzeta et la fonction croissante N ( x ) (qui joue le rôle de la partie entière de x ) selon la formuleζ ( s ) = ∫ 0 ∞x − sd N ( x ) = exp ∫ 0 ∞ log( 1 − x − s)− 1d P ( x ) ;l'hypothèse est toujours que les intégrales ci‐dessus existent lorque σ > 1 ( s = σ + it ). Le but de Beurling est, partant de propriétés convenables de la fonction N ( x ), d'obtenir pour P ( x ) le ‘théorème des nombres premiers’, P ( x ) ∼ li x ( x → ∞). Nous allons, au contraire, partir d'une hypothèse simple sur P ( x ) (par exemple, P ( x ) < li x ) et en tirer des conséquences pour la fonction ζ( x ), en laissant de côté la fonction N ( x ). Bien entendu, nous verrons en passant que l'hypothèse P ( x ) < li x est incompatible avec le fait que ζ( s ) soit la fonction dzeta de Riemann. Il sera commode d'associer à la fonction ζ( s ) la fonctionZ ( s ) = exp ∫ 0 ∞x − sd P ( x ) ,elle aussi définie pour σ > 1. Ainsiζ ( s ) = Π n = 1 ∞( Z ( n s ) )1 / n .Nous nous servirons seulement des deux faits suivants. 1991 Mathematics Subject Classification 11M41, 11N80.