Gumbel’s Identity, Binomial Moments, and Bonferroni Sums

Résumé L'identité de Gumbel établit l'égalité de la somme de Bonferroni S k,n , k = 0, 1, 2, … , n et du moment binomial d'ordre k de la variable qui compte, dans un ensemble arbitraire de n événements, le nombre M n d'événements se réalisant. Nous présentons un traitement unifié de bornes bien connues obtenues dans ce contexte par Bonferroni, Galambos‐Rényi, Dawson‐Sankoff et Chung‐Erdös, ainsi que de quelques bornes moins connues établies par Fréchet et Gumbel. Toutes font intervenir des sommes de Bonferroni. Notre démarche consiste à montrer que ces bornes apparaissent dans un cadre plus général comme les moments binomiaux d'une variable aléatoire à valeurs entières particulière. L'application de l'identité de Gumbel fournit alors la forme usuelle en termes de sommes de Bonferroni. Notre approche simplifie les preuves existantes, et permet d'étendre les résultats de Fréchet et Gumbel au cas de la probabilité pour qu'au moins t , 1 ≤ t ≤ n des n événements considérés se réalisent. Une dernière conséquence de notre approche est l'amélioration d'une borne de Petrov qui elle‐même est la généralisation de la borne de Chung et Erdös.