CALCULUSES AND FORMAL SYSTEMS

Lorenzen, in his book Einführung in die operative Logik und Mathematik has given a relatively precise form of syntactical system which he calls a calculus. The present paper deals with the relationship of Lorenzen's notion of calculus with the notion of formal system (as explained, for example, in Outlines of a formalist philosophy of Mathematics , Amsterdam, 1951). It is shown that the obs of a formal system can be represented as the theses of a calculus of a certain type just when the calculus has a property called the tectonic property, and conditions are given under which one form of system can be transformed into the other. Zusammenfassung Lorenzen hat in seinem Buch, Einführung in die operative Logik und Mathematik , eine ziemlich genaue Auffassung eines syntaktischen Systems angegeben, die er Kalkül nennt. Die vorliegende Abhandlung betrifft die Verwandtschaft dieses Lorenzenschen Begriffs mit dem eines formalen Systems (wie z. B. in Outlines of a formalist philosophy of mathematics , Amsterdam, 1951, angegeben). Es wird bewiesen, dass die « Obs » eines formalen Systems sich als die Thesen eines passenden Kalküls genau dann repräsentieren lassen, wenn dieser Kalkül eine gewisse Eigenschaft, die « tectonic property » heisst, besitzt; die Bedingungen für die Überführung einer Art von System in die andere werden aufgezeigt. Résumé Lorenzen, dans son livre Einführung in die operative Logik und Mathematik , a exposé une forme assez précise de systéme syntaxique qu'il a appelée un calcul. L'article actuel traite les relations entre cette idée et celle d'un système formel (comme elle a été exposée, par exemple, dans Outlines of a formalist philosophy of mathematics , Amsterdam, 1951). L'auteur dèmontre que les « obs » d'un système formel peuvent se représenter comme les thèses d'un calcul d'une certaine espèce justement quand le calcul a une propriété que l'on appelle « the tectonic property »; et it énonce des conditions pour qu'un type de système soit transformable en l'autre.