Partial and conditional maximum likelihood for variance‐component estimation

Summary P atterson and T hompson ' s idea of ‘error contrasts’ (or restricted maximum likelihood) (1971) was extended to multiple sets of linear contrasts for variance component estimtion. The error contrasts were established in such a way that only errors are retained in the model. The error variance was then estimated by maximizing the likelihood function obtained from the error contrasts. More sets of linear contrasts were then progressively established such that each set of linear contrasts contains only one class of random effects and the errors. A likelihood function was constructed and maximized for each variance of random effects given the error variance held at its estimated value. The likelihood function for estimating the covariance component between two classes of random effects was established such that all other random effects are treated as fixed effects. The likelihood function was then maximized with respect to the covariance given the two variance components fixed at their estimated values. The multidimensional optimization problem in the traditional restricted maximum‐likelihood problem was then turned into several one‐dimensional optimization problems by using this technique. Inasmuch as the error variance was estimated using a partial likelihood function and the other variance components are estimated using likelihood functions conditional on the estimated error variance, the method is referred to as partial and conditional maximum likelihood (PCML). Zusammenfassung Partielle und bedingte Maximum Likelihood zur Schätzung von Varianzkomponenten Die P atterson und T hompson Vorstellungen von ‘Fehlerkontrasten’ (1971) (oder beschränkte maximale Likelihood) wurde auf multiple Gruppen linearer Kontraste für Varianzkomponenten‐ schätzung ausgedehnt. Die Fehlerkontraste erfolgen in der Form, daß nur Fehler im Modell verbleiben. Die Fehlervarianz wurde dann durch Maximierung der Likelihood Funktion von Fehlerkontrasten geschätzt. Weitere Gruppen linearer Kontraste wurden nacheinander etabliert dergestalt, daß jede Gruppe linearer Kontraste nur eine Klasse zufälliger Wirkungen und die Fehler enthält. Eine Likelihood Funktion wurde konstruiert und für jede Varianz von Zufallsgrößen maximiert unter der Voraussetzung, daß die Fehlervarianz auf ihrem geschätzten Wert verbleibt. Die Likelihood Funktion zur Schätzung der Ko‐Varianzkomponenten zwischen zwei Klassen zufälliger Wirkungen wurde in der Form aufgestellt, daß alle anderen Zufallswirkungen als fixe behandelt werden. Die Likelihood Funktion wurde maximiert im Hinblick auf Ko‐Varianz bei gegebenen geschätzten Varianzkomponenten. Das multidimensionale Optimierungsproblem der traditionellen restringierten Maximum Likelihood wurde auf diese Weise in ein eindimensionales Optimierungsproblem verwandelt. Nachdem die Fehlervarianz aus der partiellen Likelihood Funktion und die anderen Varianzkomponenten unter Verwendung der bedingten Likelihood Funktionen geschätzt worden waren, wurde die Methode als partielle und bedingte Maximum Likelihood ( pcml ) bezeichnet.