Zur Potenziteration für schiefsymmetrische Matrizen

Die Potenziteration nach von Mises konvergiert bekanntlich nur im Falle eines dominanten Eigenwertes. Eine Ausnahme von dieser Regel bilden reell schiefsymmetrische Matrizen bzw. ‐paare. Obgleich hier mindestens zwei betragsgleiche dominante Eigenwerte auftreten, kann eine Vektoriteration in Form eines Doppelschritt‐Algorithmus formuliert werden, die im Vergleich zur simultanen Iteration mit zwei reellen Vektoren bei gleichem Rechenaufwand etwa doppelt so schnell konvergiert. Eine alternative Formulierung als Relaxationsalgorithmus ist möglich. Die obigen Erkenntnisse sind sinngemäß auf die Methode des stärksten Anstiegs bzw. Abstiegs und der konjugierten Gradienten übertragbar und ergeben ähnliche Verbesserungen. Für Aufgaben mit physikalischem Hintergrund lassen sich Startvektoren angeben, die Lösungen eines “verkürzten” Problems sind. Anhand einiger Vergleichsrechnungen wird die Effektivität der Algorithmen demonstriert.