A Preconditioning of the Tau Operator for Ordinary Differential Equations

Für den Operator, der bei der Chebyshevschen Tau‐Methode för lineare gewöhnliche Differentialgleichungen auftritt, wird mittels eines Integral‐Operators eine Faktorisierung angegeben. Der erste Faktor dieser Faktorisierung hat eine beschränkte Konditions‐Zahl und ist schwach besetzt, falls die Koeffizienten in der Differentialgleichung Polynome niedriger Ordnung sind. Der zweite Faktor der Faktorisierung kann leicht direkt invertiert werden. Somit wird die iterative wie auch in vielen Fällen die direkte Lösung der Tau‐Gleichung für Differentialgleichungs‐Systeme vereinfacht. Darüber hinaus kann unter Verwendung dieser Faktorisierung ein Existenz‐ und Konvergenzbeweis für die Tau‐Approximation gegeben werden. Ein ähnlicher Präkonditionierer kann für Kollokationsgleichungen definiert werden. Numerische Beispiele, bei denen iterative Löser angewendet werden, zeigen verbesserte Konvergenz sowohl für die Tau‐Methode als auch für die Kollokationsmethode.