Lösung inkonsistenter linearer Gleichungssysteme und Bestimmung einer Pseudoinversen für rechteckige Matrizen durch Spaltenapproximation

Die auf Kiesewetter und Albrand zurückgehende Methode der Spaltenapproximation, eine Variante der von Householder und Bauer untersuchten Klasse von Projektionsverfahren, eignet sich zur iterativen Lösung über‐und unter‐bestimmter linearer Gleichungssysteme. Sie führt die Lösung großer Systeme auf die wiederholte Lösung kleiner Teilsysteme zurück, ist also auch anwendbar, wenn die Koeffizientenmatrix zu groß für den Kernspeicher der Rechenanlage ist. In der vorliegenden Arbeit wird das Verfahren im Fall inkonsistenter Gleichungssysteme analysiert. Die Näherungen konvergieren gegen eine Pseudolösung, die beste Approximation im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate ist. Mit Hilfe einer verallgemeinerten Inversen ((1, 2, 3)‐ Inversen) X der Ausgangsmatrix kann die allgemeine Lösung bzw. Pseudolösung explizit angegeben werden. Hat die Ausgangsmatrix maximalen Spaltenrang, so ist X identisch mit der Moore‐Penroseschen Pseudoinversen A + , und mit dem Startvektor x= o konvergiert die Iteration gegen die normkleinste Lösung bzw. Pseudolösung A + b.